实现高效“海底捞针”，新方法FEM求解组合优化难题

近日，中国科学院理论物理研究所研究员张潘团队与合作者发表最新研究成果，提出了一种高效且通用的组合优化问题求解方法——Free Energy Machine(简称FEM)，运算结果表明，FEM在不同类型的组合优化问题上不仅具有普适性，还展现出卓越的性能和求解效率。进一步凸显了统计物理与机器学习相结合所蕴含的巨大潜力，使其有望在众多具有挑战的重要问题求解中得到广泛运用。相关研究成果发表于《自然—计算科学》。

组合优化问题起源于18世纪的哥尼斯堡七桥问题，其研究和应用广泛影响着科学、工程、经济和社会的各个方面。著名的组合优化问题包括旅行商问题，它研究如何找到访问所有城市的最短路径;最大割问题，它研究如何把一个图的顶点分割成两个组，使得组之间的连边数目最多等。

组合优化和自旋玻璃问题中复杂的能量景观示意图。如何跨过由能量壁垒所隔绝的能量极小点找到全局能量最低的解，是一个困难的问题。图片来源：Joshua Sortino,Unsplash

不过，这些问题往往需要在庞大的变量空间中寻找具有最低目标函数的变量赋值，就如同大海捞针一般困难。

组合优化问题在统计物理中被称为自旋玻璃的基态能量问题。求解自旋玻璃基态问题的困难之处在于系统的能量景观非常复杂，存在各种由能量壁垒所隔绝的能量极小值。犹如“不识庐山真面目，只缘身在此山中”般，在复杂的能量景观中寻找最低能量的基态构型时，很容易陷入局域最小而无法一览全局。

为了应对这个挑战，统计物理领域创建了模拟退火等已经在科学和工业界广泛使用的经典启发式算法。然而，模拟退火算法依赖于马尔可夫链蒙特卡洛方法，该算法本质上具有时间上的串行性，更适合在以CPU为代表的串行计算设备上运行。

近年来，GPU在算力上已经展现出了相对于CPU的显著优势。因此，我们迫切需要发展新的统计物理的计算方法，高效利用GPU等并行计算设备所提供的先进计算能力，更高效地求解具有挑战性的自旋玻璃和组合优化问题。

张潘团队与合作者发展的FEM方法，将统计物理学中的自由能最小化方法原理、平均场理论、模拟退火思想与机器学习中的自动微分与梯度优化技术相结合，用于高效求解一般的组合优化问题。

在整体思路上，FEM与模拟退火算法非常接近，都是通用的算法。不同之处在于FEM通过平均场变分分布来表述不同温度下的玻尔兹曼分布。FEM变分分布的参数可以并行更新，因此可以高效地利用GPU和FPGA等并行计算设备进行极大地加速，可以在短时间内高效求解大规模组合优化问题。

为了评估FEM的性能，科研人员在各种不同类型的组合优化问题上展开了基准测试，包括最大割问题、平衡最小割问题以及最大满足问题等。这些数值实验结果充分证明了FEM在不同类型的组合优化问题上不仅具有普适性，还展现出卓越的性能和求解效率。